第202章天才（三）

九十七年四月四日，始源，始源学校。 当数学课开始，众人则是直接先领到了一份卷子。 卷子是一列一列地往后递，纸页在课桌上传递时发出的声音很轻。 没有人多问为什么数学课要直接发卷子，原因非常简单：物理考试刚刚结束，试卷都已经发回去了，考一场数学，合情合理。 有人翻开卷子先看了一眼最后几道大题，然后又翻回第一页，开始看前面的填空。 草雨玄接过卷子之后，先把自己的名字写在左上角，然后开始从第一题往下做。 他没有抬头看别处，也没有在某一题上停留太久，一路做到倒数第二题时才停了一下，然后继续往下写。 这张数学试卷上，依旧有一个非常简单的题目，如何证明零点九九的循环等于一？。 为什么说这道题目简单呢？因为早在二十年前，就有人通过代数的方法解决了这个问题。 将零点九九的循环设为x，十x等于九点九循环，十x减x等于九x等于九，所以x等于一。 那一年的考场上一共数百人，只有一个人写出了完整推导。 那一年给出这一个解法的人被人们称之为数学界的天才，如今的他们只需要照猫画虎地将答案写上去，便能得到分数。 课后的作业辅导课上也讲过这道题的解法，讲过两遍，老师在黑板上推导过完整的步骤，每一步的变换都标注了理由，甚至连等号对齐的位置都是刻意安排的。 每一个上过这门课的人都在不同的时间点见过那个推导，并且以不同的方式记下了它的轮廓。 但不知道为什么，他们给出这一个解法却始终无法得到满分答案。 有人猜是过程写得不完整，有人说是没有解释清楚等式的对等关系，有人干脆放弃了那一分，觉得不影响及格就行。 郝雨田他也并不在意，因为哪怕不是满分答案，也足以让他排进班上的前列，得到奖学金了。 他的生活开支大部分依靠学校补助和象棋比赛的奖金，额外的那一笔奖学金可以让他少参加一场比赛，把时间腾出来给别的事情。 他在那道证明题的空白处写下了完整的代数推导过程，没有多写，也没有少写。 他写完之后检查了一遍，确认了每一步的等号对齐，然后翻过卷子，开始检查前面的题目有没有漏写。 次日，老师将试卷发下来的时候，几位学习成绩好的人毫无意外的得到了九十九分的成绩，唯一扣的一分便是通过代数法证明零点九九的循环为一。 他们的卷面上都只有一个红圈，圈住那个用代数证明的位置，在旁边标注了一个小小的“-1”。 郝雨田无所谓的看着试卷，他翻到错题那一页，看见了自己的分数，然后把试卷折好收起来。 他发觉坐在自己边上的草雨玄只考了九十三，他看向了他的错题——是一道简单的函数分析。 他继续平静地听着课，老师在讲台上讲解着卷子的错题，每讲完一题就会停顿片刻，等学生记完再继续往下。 郝雨田听着那些讲解，把每道题的解法在自己脑子里重新走了一遍，确认过每一段推导的顺序没有问题。 直到下课后，他途经了老师的办公室，听到了老师对于这道题的遗憾。 “还是没人能发现啊，看来这一届学生和我们当初一样，也不算多么聪慧，没有发现代数法的漏洞。” 他的声音在门口的位置停留了一瞬，瞬间吸引了郝雨田，边上的另一位老师接过了话头： “我们当初也没发现，不也不影响我们现在教书吗？没必要对学生那么大期待的。代数法的漏洞不也是被提出三年之后才被人找到的吗？” 办公室里的声音又响了一会儿，然后被关门声截断了。 郝雨田站在门外的廊柱旁边，没有推门，也没有走开。 他停了一会儿，然后转身沿着走廊走回了教室，没有向任何方向多看一眼。 他思索着，走回了教室，找草雨玄借了张纸。 草雨玄正在整理下一节课要用的东西，听见他的要求之后没有多问，从抽屉里抽了一张纸递给他。 郝雨田接过来之后，在纸张上写好了利用代数法证明零点九九循环等于一的式子。 他把那行推导抄了一遍，然后盯着它看了一会儿，像是正在等待那些等号之间的间距自己释放出某种新的信息，但什么也没有出现。 他对着纸张思索了起来，这个方法有漏洞吗？ 他从上到下看了一遍，每一步的变换都是合理的，等号的两边也始终保持着相同的值，没有出现明显的断裂点。 他在草稿纸上写了一遍又一遍，像是试图在某一版的抄写中找到一个未被注意到的间隙，但每次抄完得到的都是同一个结果。 突然，他想起，自己没必要证明它在任何情况下都成立，只需要证明有一种情况能使它不成立就行。 沿着这一条思路，他很快就写出了一条完全不同的式子：若无限的算式可以被代数等价，即零点九九循环等于x，则a可以等于1+2+4+8……则2a可以等于2+4+8……即a减2a等于-a等于一。 由此可得，若无限可以被等价，则存在1+2+4+8……＝-1，所以，无限无法被等价替换。 他看着自己得出来的反例，非常兴奋地拉着草雨玄看了起来。 他的手指点着那几行式子，从第一行开始，逐行确认自己写下的推理路径，他先确认了a的定义是一个包含所有二的正整数次幂的无尽序列。 然后他把那张纸递到草雨玄面前，让他顺着那些等号一起往下读。 “你看你看，如果代数法可以证明零点九九循环等于一的话，老师就不会一直出这个题了！ 所以我这样子就可以证明，代数无法代指无限的数字！ 所以我们其实到现在都无法证明零点九九循环等于一，这才是为什么老师一直要出这道题的原因！” 他的手指在最后一行下面停了一下，然后收回来，把那页纸完全交给了草雨玄的视线。 草雨玄越看越震惊，嘴巴里面简直能塞下一个鹅蛋。 他顺着那几行等号一路看下来，每看完一步就在心里重新确认一次，直到最后一行的落点。 他之前从没想过那个代数法可能有问题，只是知道老师说过“不要深究”，他一直以为那是老师不想浪费时间讲无关内容。 现在他拿着那张纸，看到的是一个已经足够完整的反例结构，它的存在本身就在他的认知里开了一道以前没注意到的缝隙。 自己背下的真理，居然这么快就被他反驳了？ 他在心里把那个反例又过了一遍，确认每一步的逻辑都能自洽。 “你是……怎么想到的？” 他的语气略显迟滞，郝雨田想了想，说道： “我就想着举一个反例，然后就举出来了。” 他的语气不像是在描述一件困难的事，更像是在描述一件自然发生的事。 他说完之后把那张纸从草雨玄手里接回来，折好，收进自己的书页之间。 他看着对方离开班门的身影，站在原地没有立刻跟上去。 草雨玄陷入了自我怀疑——什么叫做我想举一个反例，所以就举出来了？为什么看到这样子一个逻辑自洽的例子，他会想着去举反例？ 他的目光从门口收回来，落在自己的桌面上，那张已经被收起来的试卷还放在桌角，上面的分数还没有被擦掉。 他盯着那道被扣了一分的证明题看了很久，然后把它翻了过去，压在一本课本下面。 郝雨田的目标很明确，他要找老师看看自己的方法，是不是当初那位先辈反驳的方法。 他穿过走廊，在办公室门口停了一下，敲了两下门，然后推门走了进去。 老师正坐在桌边批改作业，听见有人进来后抬起头，看见来人的面孔后没有立刻说话。 郝雨田把那张折好的纸展开，递到老师面前，指着他用反例证伪的部分，等对方看完之后，他的目光始终没有移开。 老师接过纸，目光从第一行扫到倒数第二行，停住了。 “这是你自己想的吗？如果是你家……别人教你的，考试的时候可不能这么写，这么写不算答案，一点分都没有。” 他有些惊讶过头，以至于差点说错话，但他那份惊讶并没有在脸上持续太久。 他停下来，又看了一眼那段反例，确认了等号之间的对应关系在每一步都是成立的，然后把它平放在桌面上。 郝雨田并没有在意老师的失态，而是看着老师的目光问道： “那个那个，前面那位证明这个式子是错误的人，是不是也是这么想的？” 老师深深的看了他一眼，摇了摇头。 “没有，他的想法比你复杂的多。 他的想法是证明了零点九九的循环不是个实数，所以不适用于加减乘除。” 他在说出这句话的时候，注意到郝雨田的目光依然停留在纸面末尾的那行结论上，他等着那道目光从纸面上移开，然后才继续说话。 郝雨田的眼睛更亮了，这是他从未接触过的领域。 随后，他语不惊人死不休：“如果我能证明零点九九的循环等于一，会给我多少钱？” 老师顿时哑声发笑，果然还只是个学生，还只是个孩子，还只是个穷孩子。 解决这样一个数学史上的最大难题，第一想法居然会是能拿到多少钱？ 他在笑完之后，重新整理了一下表情： “如果你真的能解决的话，以后你的所有吃穿住行、日常用品都可以免费拿的，官府会帮你善后。” 郝雨田双眼一亮——免费！那可是神明大人才有的待遇。原来解决这个问题也能得到这样的待遇吗？ “老师老师，能不能把另一个人的证明思路给我看一下？” 他的语气比刚才快了一些，老师笑着递给了他一本薄薄的书，只有七页纸，但上面写满了数学推理，密密麻麻的符号和推导过程从第一页延伸到最后一页，看的人眼花缭乱。 那些推导步骤的编排已经经过了几轮重新整理，每一页的版面布局都经过调整，以容纳不同层级的标注。 “这是数学院的课本，上面应该有你想要的东西，你想学的话可以提前看看。” 郝雨田拿着书笑着跑出了老师办公室，他的脚步声沿着走廊越传越远，被拐角处的一扇门拦了一下，然后恢复了原来的节奏。 老师在郝雨田走后不久也快速离开了办公室，他沿着走廊的侧面向行政楼方向走去，步伐比平时略快一些。 这一届学生中好像出了一个了不起的天才，他要提前上报一下，这人的水平不亚于当年在考场上提出用代数法解决问题的江山。 他沿着行政楼的台阶往上走，那本薄书的封皮上还有一道他刚才放进去的压痕。 他已经很久没有见过能自己想出这种反例的学生了，上一次听说还是二十年前的事，那时候他还在读初中。 早就已经离开边境、回到数学院中、接过老师工作、已显苍老姿态的江山，突然打了个喷嚏。 他耸了耸肩，继续推理着，该如何严谨地证明零点九九循环等于一。 那道题目他想了很久了，从当初提出代数法到如今，中间隔了十几年，他仍然没能给出那个更严谨的证明。 而当初给他的代数法宣判死刑的老师，如今只能在黄土之下，等待着他的好消息。 虽然他并没有信心能够给雨山天带去好消息就是了——当初自己想出代数法也不过是投机取巧，距离想要严谨证明他还差得远。 他拿起炭笔，在纸上写下了一行新的假设，然后把它放在桌角，等明天再回来看它是否还能保持住自己的位置。 纸张的末端刚好压在窗沿透进来的光的边缘上，整段文字都避开了那道斜线的范围。 他这辈子的研究，或许能为未来的某一位天才节省一个下午的时